2009年5月11日星期一

打印纸长宽比的几何解释

打印纸(一般为A4),其长宽比有一个要求,就是当纸张对折时,其长宽比保持不变,用代数方程很容易求出长宽比的结果。但我想直接就从几何的作图法来求,模仿当年古希腊人的思路。(那时候没有根号哦)。具体见图:

假定矩形ABCD是一个要求的矩形,那么根据要求,AB:AD=AD:AE,而AE=AB/2. 根据直角三角形斜边上的高的原理,我们知道BC是DC和CJ(CJ=DC/2)组成的斜边的高。所以中点M一定在FC的中点上。以MB为半径画圆,就得到直角顶点的轨迹,只要在C点作DC的垂线,交圆与B即可。

另外,我们还知道,以BC为边长的正方形面积一定是矩形CDQG的面积。而CDQG又是两个正方形构成,所以,CDQG的面积一定是以PC为边的正方形的面积,也就是CBLK的面积。这样,我们就知道DC一定是正方形CBLK的对角线,或者PC=CB。

根据上述的结论,在折A4纸时,你可以发现很多有趣的重合,看看你能找到几个?

2009年5月10日星期日

非洲人的逻辑

美国CBS六十分钟节目有一期说到一件事,非洲人用药毒死狮子。

CBS记者采访非洲一个村落的人,问他们是否用药毒死过狮子,为什么?非洲人非常诚实地说,是的,我们用美国产的要来毒死狮子,因为狮子把我们的牛吃掉了,我们的损失很大,所以我们采用美国的一种药来毒狮子,效果非常好!

那么这些人养牛的目的是为什么呢?很简单,当然是为了生活,如果牛多一点,他们就可以送孩子上学,接受好的教育。节目到此为止了。

接下去的事情没有说,我这里接着说下去:

孩子受到好的教育,就有机会进一步深造,还有可能去美国留学,为什么要到美国留学呢?当然是为了将来有一份好的工作,什么是好的工作呢?例如制药厂。这种毒死狮子的药非常热销,所以我们的孩子应该进入这种企业,生产更多的这种药。然后我们的孩子就能赚很多钱,在美国定居,买房子和汽车,他们的下一代会更加富有,然后他们就可以抽时间来非洲旅游度假,看看狮子。到时候,狮子已经是珍稀动物了,所以要看到也不容易了,他们可以看看牛。到时候如果牛太多了,他们可以生产一些药来毒死牛。这样我们的后代一直可以幸福的生活下去。

这使我们现在的思维方式,套用到非洲人的身上去,非常有意思吧。

其实,想到这个话题缘于一次和一个油漆工的对话。油漆工自豪地告诉我,他只要有可能,就只刷一遍漆(按常理要刷至少两遍。),这样漆就不太牢靠,而业主就会不断地要求漆匠来油漆,而这样油漆工就可以不断地有活干,挣到钱。这个油漆工考这种方法在上海生存了五年了,日子过得也算可以。

其实以前还有一个霓虹灯的故事和这个类似,霓虹灯制造商故意让霓虹灯的寿命短一些,这样,那些顾主就不得不每年换,而顾主如果不肯换,那么霓虹灯就残缺不全。所以,我们以前经常会看见这种缺胳膊少腿的霓虹灯。问题是顾主也知道这种情况,但为什么还要用呢?很简单,便宜!因为很多顾主自己也不知道这个霓虹灯到底能用多久,先混一年再说。这样这个市场就平衡了。

再往下说就是三聚氰胺了,其实道理也是一摸一样,只是最终客户不知道会让小孩丧命或者残废,所以这个市场被维护的非常好。不料三鹿太过急功近利,又碰上一个新西兰的“傻帽”,所以才身败名裂。其他做得好一点问题也没有。

我们现在到底有多少类似非洲人的故事呢?仔细看看身边的东西就知道了。

2009年5月3日星期日

黄金比作图来历的思考

以前小时候学几何时,教科书上教的黄金比画法很古怪,完全是凑出来的,但一直不解为什么是这样,而且也不理解古人到底是怎么想的,怎么画的。最近两年看到日本一个节目,介绍黄金比的画法,才突然醒悟到原来自己学的教科书是有问题的,古人最早不是这么画的。几乎所有的国外教科书都是用一个正方形开始画的。其实这才是容易理解的画法。在很早以前,人们还不承认根号的时候,谁会去凑那个数啊。

现在,就从这个正方形画法再思考下去,古人是怎么获得这个简洁的画法呢?

还是要从勾股定理的推论想起,或者直角三角形斜边上的高的平方。见前面的博客。

黄金比的要求是,已知一个线段AB,求作一个线段AH,AH是AB的延长线段,使得AH:AB=AB:BH。如果把等式换一下,就是AB*AB=AH*BH,这时候,我们可以知道AB就是一个直角三角形的高了。要画这个直角三角形,我们要把BH画到A的傍边来,让AE=BH,现在,AB一定就是直角三角形EDH的高AD,或者说,正方形ABCD的面积一定就是AE*AH。而直角三角形EDH的外接圆圆心一定是EH的中点M,由于AE=BH,所以M就一定是在AB的中点上,这样我们就找到了外接圆的圆心,而圆上的一个点D已经知道,所以立刻就可以画出外接圆交AB的延长线与E和H。那么AH或者BE就是所求的线段。以BE和CB(AB)为边作矩形BEFC就是黄金矩形了。当然矩形AEFD也是黄金矩形。所以,如果要求在AB内求点Q,使得AB:AQ=AQ:QB,那么AE=AQ,所以连作法都不用改,而不用我们原来学的那个看起来简单,理解起来困难的三角形作法。据说日本以前还出过以类似这张图为画面的邮票呢。嘿嘿,不知道现在地教科书改过来没有。那一天也和教育部门的砖家切磋一下。看看他们的想法。不过很多人已经被蒙了至少30十年了,反正黄金比也不是什么太要紧的东西,即使不知道来历也不影响生活。不过有一点我一直很好奇,当年优选法一直就是用这个简单的黄金比,还让大数学家华罗庚和苏步青等出来给人家扫盲,但这么简单的东西,要大数学家来讲,是不是有意作践这些大数学家?或者当年的造反派真是不懂,非要大数学家出马?但是这是一个初中老师就可以讲清楚的东西呀?但愿当年的造反派还有人来看帖子,回答一下这个困扰渔夫许多许多年的疑问。