打印纸长宽比的几何解释

打印纸（一般为A4），其长宽比有一个要求，就是当纸张对折时，其长宽比保持不变，用代数方程很容易求出长宽比的结果。但我想直接就从几何的作图法来求，模仿当年古希腊人的思路。（那时候没有根号哦）。具体见图：

假定矩形ABCD是一个要求的矩形，那么根据要求，AB：AD=AD：AE，而AE=AB/2. 根据直角三角形斜边上的高的原理，我们知道BC是DC和CJ（CJ=DC/2)组成的斜边的高。所以中点M一定在FC的中点上。以MB为半径画圆，就得到直角顶点的轨迹，只要在C点作DC的垂线，交圆与B即可。

另外，我们还知道，以BC为边长的正方形面积一定是矩形CDQG的面积。而CDQG又是两个正方形构成，所以，CDQG的面积一定是以PC为边的正方形的面积，也就是CBLK的面积。这样，我们就知道DC一定是正方形CBLK的对角线，或者PC=CB。

根据上述的结论，在折A4纸时，你可以发现很多有趣的重合，看看你能找到几个？

非洲人的逻辑

美国CBS六十分钟节目有一期说到一件事，非洲人用药毒死狮子。

CBS记者采访非洲一个村落的人，问他们是否用药毒死过狮子，为什么？非洲人非常诚实地说，是的，我们用美国产的要来毒死狮子，因为狮子把我们的牛吃掉了，我们的损失很大，所以我们采用美国的一种药来毒狮子，效果非常好！

那么这些人养牛的目的是为什么呢？很简单，当然是为了生活，如果牛多一点，他们就可以送孩子上学，接受好的教育。节目到此为止了。

接下去的事情没有说，我这里接着说下去：

孩子受到好的教育，就有机会进一步深造，还有可能去美国留学，为什么要到美国留学呢？当然是为了将来有一份好的工作，什么是好的工作呢？例如制药厂。这种毒死狮子的药非常热销，所以我们的孩子应该进入这种企业，生产更多的这种药。然后我们的孩子就能赚很多钱，在美国定居，买房子和汽车，他们的下一代会更加富有，然后他们就可以抽时间来非洲旅游度假，看看狮子。到时候，狮子已经是珍稀动物了，所以要看到也不容易了，他们可以看看牛。到时候如果牛太多了，他们可以生产一些药来毒死牛。这样我们的后代一直可以幸福的生活下去。

这使我们现在的思维方式，套用到非洲人的身上去，非常有意思吧。

其实，想到这个话题缘于一次和一个油漆工的对话。油漆工自豪地告诉我，他只要有可能，就只刷一遍漆（按常理要刷至少两遍。），这样漆就不太牢靠，而业主就会不断地要求漆匠来油漆，而这样油漆工就可以不断地有活干，挣到钱。这个油漆工考这种方法在上海生存了五年了，日子过得也算可以。

其实以前还有一个霓虹灯的故事和这个类似，霓虹灯制造商故意让霓虹灯的寿命短一些，这样，那些顾主就不得不每年换，而顾主如果不肯换，那么霓虹灯就残缺不全。所以，我们以前经常会看见这种缺胳膊少腿的霓虹灯。问题是顾主也知道这种情况，但为什么还要用呢？很简单，便宜！因为很多顾主自己也不知道这个霓虹灯到底能用多久，先混一年再说。这样这个市场就平衡了。

再往下说就是三聚氰胺了，其实道理也是一摸一样，只是最终客户不知道会让小孩丧命或者残废，所以这个市场被维护的非常好。不料三鹿太过急功近利，又碰上一个新西兰的“傻帽”，所以才身败名裂。其他做得好一点问题也没有。

我们现在到底有多少类似非洲人的故事呢？仔细看看身边的东西就知道了。

黄金比作图来历的思考

以前小时候学几何时，教科书上教的黄金比画法很古怪，完全是凑出来的，但一直不解为什么是这样，而且也不理解古人到底是怎么想的，怎么画的。最近两年看到日本一个节目，介绍黄金比的画法，才突然醒悟到原来自己学的教科书是有问题的，古人最早不是这么画的。几乎所有的国外教科书都是用一个正方形开始画的。其实这才是容易理解的画法。在很早以前，人们还不承认根号的时候，谁会去凑那个数啊。

现在，就从这个正方形画法再思考下去，古人是怎么获得这个简洁的画法呢？

还是要从勾股定理的推论想起，或者直角三角形斜边上的高的平方。见前面的博客。

黄金比的要求是，已知一个线段AB，求作一个线段AH，AH是AB的延长线段，使得AH：AB=AB：BH。如果把等式换一下，就是AB*AB=AH*BH，这时候，我们可以知道AB就是一个直角三角形的高了。要画这个直角三角形，我们要把BH画到A的傍边来，让AE=BH，现在，AB一定就是直角三角形EDH的高AD，或者说，正方形ABCD的面积一定就是AE*AH。而直角三角形EDH的外接圆圆心一定是EH的中点M，由于AE=BH，所以M就一定是在AB的中点上，这样我们就找到了外接圆的圆心，而圆上的一个点D已经知道，所以立刻就可以画出外接圆交AB的延长线与E和H。那么AH或者BE就是所求的线段。以BE和CB（AB）为边作矩形BEFC就是黄金矩形了。当然矩形AEFD也是黄金矩形。所以，如果要求在AB内求点Q，使得AB：AQ=AQ：QB，那么AE=AQ，所以连作法都不用改，而不用我们原来学的那个看起来简单，理解起来困难的三角形作法。据说日本以前还出过以类似这张图为画面的邮票呢。嘿嘿，不知道现在地教科书改过来没有。那一天也和教育部门的砖家切磋一下。看看他们的想法。不过很多人已经被蒙了至少30十年了，反正黄金比也不是什么太要紧的东西，即使不知道来历也不影响生活。不过有一点我一直很好奇，当年优选法一直就是用这个简单的黄金比，还让大数学家华罗庚和苏步青等出来给人家扫盲，但这么简单的东西，要大数学家来讲，是不是有意作践这些大数学家?或者当年的造反派真是不懂，非要大数学家出马？但是这是一个初中老师就可以讲清楚的东西呀？但愿当年的造反派还有人来看帖子，回答一下这个困扰渔夫许多许多年的疑问。