打印纸长宽比的几何解释

打印纸（一般为A4），其长宽比有一个要求，就是当纸张对折时，其长宽比保持不变，用代数方程很容易求出长宽比的结果。但我想直接就从几何的作图法来求，模仿当年古希腊人的思路。（那时候没有根号哦）。具体见图：

假定矩形ABCD是一个要求的矩形，那么根据要求，AB：AD=AD：AE，而AE=AB/2. 根据直角三角形斜边上的高的原理，我们知道BC是DC和CJ（CJ=DC/2)组成的斜边的高。所以中点M一定在FC的中点上。以MB为半径画圆，就得到直角顶点的轨迹，只要在C点作DC的垂线，交圆与B即可。

另外，我们还知道，以BC为边长的正方形面积一定是矩形CDQG的面积。而CDQG又是两个正方形构成，所以，CDQG的面积一定是以PC为边的正方形的面积，也就是CBLK的面积。这样，我们就知道DC一定是正方形CBLK的对角线，或者PC=CB。

根据上述的结论，在折A4纸时，你可以发现很多有趣的重合，看看你能找到几个？

非洲人的逻辑

美国CBS六十分钟节目有一期说到一件事，非洲人用药毒死狮子。

CBS记者采访非洲一个村落的人，问他们是否用药毒死过狮子，为什么？非洲人非常诚实地说，是的，我们用美国产的要来毒死狮子，因为狮子把我们的牛吃掉了，我们的损失很大，所以我们采用美国的一种药来毒狮子，效果非常好！

那么这些人养牛的目的是为什么呢？很简单，当然是为了生活，如果牛多一点，他们就可以送孩子上学，接受好的教育。节目到此为止了。

接下去的事情没有说，我这里接着说下去：

孩子受到好的教育，就有机会进一步深造，还有可能去美国留学，为什么要到美国留学呢？当然是为了将来有一份好的工作，什么是好的工作呢？例如制药厂。这种毒死狮子的药非常热销，所以我们的孩子应该进入这种企业，生产更多的这种药。然后我们的孩子就能赚很多钱，在美国定居，买房子和汽车，他们的下一代会更加富有，然后他们就可以抽时间来非洲旅游度假，看看狮子。到时候，狮子已经是珍稀动物了，所以要看到也不容易了，他们可以看看牛。到时候如果牛太多了，他们可以生产一些药来毒死牛。这样我们的后代一直可以幸福的生活下去。

这使我们现在的思维方式，套用到非洲人的身上去，非常有意思吧。

其实，想到这个话题缘于一次和一个油漆工的对话。油漆工自豪地告诉我，他只要有可能，就只刷一遍漆（按常理要刷至少两遍。），这样漆就不太牢靠，而业主就会不断地要求漆匠来油漆，而这样油漆工就可以不断地有活干，挣到钱。这个油漆工考这种方法在上海生存了五年了，日子过得也算可以。

其实以前还有一个霓虹灯的故事和这个类似，霓虹灯制造商故意让霓虹灯的寿命短一些，这样，那些顾主就不得不每年换，而顾主如果不肯换，那么霓虹灯就残缺不全。所以，我们以前经常会看见这种缺胳膊少腿的霓虹灯。问题是顾主也知道这种情况，但为什么还要用呢？很简单，便宜！因为很多顾主自己也不知道这个霓虹灯到底能用多久，先混一年再说。这样这个市场就平衡了。

再往下说就是三聚氰胺了，其实道理也是一摸一样，只是最终客户不知道会让小孩丧命或者残废，所以这个市场被维护的非常好。不料三鹿太过急功近利，又碰上一个新西兰的“傻帽”，所以才身败名裂。其他做得好一点问题也没有。

我们现在到底有多少类似非洲人的故事呢？仔细看看身边的东西就知道了。

黄金比作图来历的思考

以前小时候学几何时，教科书上教的黄金比画法很古怪，完全是凑出来的，但一直不解为什么是这样，而且也不理解古人到底是怎么想的，怎么画的。最近两年看到日本一个节目，介绍黄金比的画法，才突然醒悟到原来自己学的教科书是有问题的，古人最早不是这么画的。几乎所有的国外教科书都是用一个正方形开始画的。其实这才是容易理解的画法。在很早以前，人们还不承认根号的时候，谁会去凑那个数啊。

现在，就从这个正方形画法再思考下去，古人是怎么获得这个简洁的画法呢？

还是要从勾股定理的推论想起，或者直角三角形斜边上的高的平方。见前面的博客。

黄金比的要求是，已知一个线段AB，求作一个线段AH，AH是AB的延长线段，使得AH：AB=AB：BH。如果把等式换一下，就是AB*AB=AH*BH，这时候，我们可以知道AB就是一个直角三角形的高了。要画这个直角三角形，我们要把BH画到A的傍边来，让AE=BH，现在，AB一定就是直角三角形EDH的高AD，或者说，正方形ABCD的面积一定就是AE*AH。而直角三角形EDH的外接圆圆心一定是EH的中点M，由于AE=BH，所以M就一定是在AB的中点上，这样我们就找到了外接圆的圆心，而圆上的一个点D已经知道，所以立刻就可以画出外接圆交AB的延长线与E和H。那么AH或者BE就是所求的线段。以BE和CB（AB）为边作矩形BEFC就是黄金矩形了。当然矩形AEFD也是黄金矩形。所以，如果要求在AB内求点Q，使得AB：AQ=AQ：QB，那么AE=AQ，所以连作法都不用改，而不用我们原来学的那个看起来简单，理解起来困难的三角形作法。据说日本以前还出过以类似这张图为画面的邮票呢。嘿嘿，不知道现在地教科书改过来没有。那一天也和教育部门的砖家切磋一下。看看他们的想法。不过很多人已经被蒙了至少30十年了，反正黄金比也不是什么太要紧的东西，即使不知道来历也不影响生活。不过有一点我一直很好奇，当年优选法一直就是用这个简单的黄金比，还让大数学家华罗庚和苏步青等出来给人家扫盲，但这么简单的东西，要大数学家来讲，是不是有意作践这些大数学家?或者当年的造反派真是不懂，非要大数学家出马？但是这是一个初中老师就可以讲清楚的东西呀？但愿当年的造反派还有人来看帖子，回答一下这个困扰渔夫许多许多年的疑问。

生长中的数学原理

由于谷歌的博客排版功能太烂，只能将就着写这篇插图很多的博客了。

因为研究经络问题，不可避免地要遇到细胞增长问题，所以一直又研究生长的问题，一直想看那本生长和形态，但还没有到手，所以自己先做一些功课。有了一些心得，录在这里：

1.任意矩形的生长

曾经看过鹦鹉螺曲线的做法，很受启发，结果往下在仔细研究，发现只要是任意矩形，按照最长边原则（即总是在多的一面生长）生长正方形的话，也能得到同样的结果，所以又推导一下，很容易就获得图1 的结果。结论是，只要有生长，就有黄金比。这是自然界的数学原理，所以我们会到处遇到。

2.生长的不同模式

在看了鹦鹉螺曲线后，我又在思考如果每次长的正方形是两个，会怎样，三个，或者n个呢？

见图4.结果发现它们也会有相似性存在，也就是说，在生长到一定阶段后，后面的矩形一定和前面的相似。最后一定有一个矩形满足一个特定的比。用几何作图法很容易求出每次生长n个正方形的矩形。图2列出了前3种做法。

3.泛黄金比（广义黄金律）

用简单数学方法很容易获得对于每次生长n个正方形的比例公式，图3列出了前面19个的数据。可以看出，日常的黄金律只是一个特例，因为n=1是最容易生长的一种方式，所以在自然界中最容易被我们观察到。我相信我们的身上到处都是这些黄金比，只是过去没有注意罢了。

4.帕特农神庙里的比例

最近看到一个片子，讲希腊帕特农神庙里的比例问题。人们已经发现长宽比的黄金比，但对于柱子高度和间隔长度的比，现代希腊人认为是4：9，但我认为就应该是0.414.现在还没有拿到具体数据，等以后验证吧。我相信古希腊人可能很早就注意到泛黄金比，只是没有写下来罢了。

我坚信一切生物都是按照最简单的数学原理和物理原理来生长的，进化论只是一个表象。因为任何细胞的生长都是依靠其忆阻特性（也就是其基本物理特性）来生长的，越简单的数学方式越容易用在低级细胞的生长上，而高级生物不过就是这些多种生长方式的组合和排列。但由于数量太过巨大，以至于人们根本无暇去看透他们的规律。有了电脑帮忙，现在有机会一点点找出规律来了。

重庆中学的假世界冠军是奥运假唱的延续

最近媒体爆料重庆一所中学在获得中国中学生足球赛第六名后，为在世界中学生校际足球赛中取得好成绩，串通中国国家少年队，以该中学的名义参赛，并获得冠军！



重庆的政府官员在事先得知此事后，觉得事情传出去不好，下令封口，不料有几个媒体不知内情，以为是重庆为国家挣了面子，当然更为重庆挣了面子，大肆宣传，结果引来一帮媒体人刨根问底，拆穿了这个西洋镜。当然，拆穿西洋镜的是非重庆媒体。这下让重庆市政府，国家教育部，国家足协（这个本来就恶名昭彰的机构）一下陷入的尴尬境地！



有意思的是国家足协竟然否认他们知道中国少年队以重庆一所中学的名义参加世界中学生足球赛。呵呵，这足协随便怎么说都是问题一大堆，如果真不知道，那么足协平时都在干嘛呢？打麻将？赌球？或者吸毒？鬼知道了。如果是知道，那么就是撒谎，而且是脱了裤子撒谎！而且还是打假球，组织假球！那么它又如何能够组织全国的足球赛呢？全国联赛怎么可能不打假球呢？



足协把球踢给教育部，因为这是教育部授意重庆这所中学去作假的，而教育部可以明确的说他们没有，他们只是口头要求重庆这所中学要取得前三名。明知在国内才第六名，非要到国际上那前三名，这是不是授意呢？教育部是不是鼓励中学作假呢？答案再明显不过了吧！要说教育部不知道，那才是鬼也不信的！教育部公然要求学校作假，该当何罪？教育部以其行政管理权威要求一所中学作假，那么可以想象它会要求教育出来的学生不作假吗？它会制止假文凭吗？（恐怕发假文凭都来不及了！，我没有乱说呀，看看那个被双规的王益，不是有复旦大学的葛剑雄教授出来质疑王益的博士学位了吗？）



但是从另一个角度来说，重庆的这所中学没有任何错误，假如张艺谋在北京奥运会的假唱做法是认可的话！因为领导没有要求张艺谋搞假唱，但提了一个高的要求。（当然，我们这里先假定张艺谋没有其他私心杂念在里面，也没有做局。这个假定我自己都不太相信！但先这样简单一些）张艺谋为了全中国人民的大面子，搞了这一个假唱，而且效果出奇的好，连张艺谋自己都被感动不得了！（听上去好好玩啊。）



重庆这所中学为中国拿到了世界冠军，为中国人挣了多大的面子，不是更应该大张旗鼓的表扬吗？何错之有？所以，重庆市政府也不必下封口令，国家足协更不必避讳，而且应该搞一个大型晚会，请CCTV的名主持到场捧场，多光荣的事呀！第六名可以拿世界冠军，中国足球的明天不是更加灿烂辉煌吗？



呵呵，你现在可以看到奥运假唱的魔力了吧!接下去我们还可以看到更多的好新闻，例如最近被绿色和平组织发现京沪穂的大超市的蔬菜农药残留量竟然超过农贸集市！而上海市政府义正词严滴说：蔬菜就是有农药的！蔬菜不可能没有农药！我们的农药就是比别人好！他们现在没有说出来的是。我们的农药有强烈的杀菌作用，可以杀死身体里的各种癌细胞，这是上海市政府为了迎接世博会办的一件利国利民的大好事，你绿色和平懂个屁！你以为绿色才好吗？我们的城市才更美好！



然后教育部说，我们现在的学生不好吗？他们冷漠不好吗？他们自私不好吗？人不为己天诛地灭！这是放之四海而皆准的真理。他们为什么不可以考试作弊呢？他们不是为了他们的父母的血汗钱，为了自己的前途，为了学校的荣誉而作弊的吗？何罪之有？我们发一些假文凭，不是为了方便他们找工作吗？不是为了方便他们升迁吗？难道他们拿不到文凭，找不到工作，你们这帮SB就高兴了？



中国足协说，是呀，我们也觉得很冤枉，我们为了中国足球面子好看，打假球，请洋教练，为了拉动内需赌赌球，吸吸毒，有什么错呢？网民成天骂我们，球迷一致寒蝉我们，不知道为什么？如果不是我们这样搞，国家不是还要投入更多吗？尽管我们拿不到成人足球的好成绩，我们不是拿到中学生的好成绩了吗？不该好好奖励一下吗？



深圳市政府说，你们这帮SB，才醒过来呀!三个代表是怎么学的，科学发展观是怎么应用的？我们早就在这样搞了，你看全球最大的山寨市场不是就在我们这里吗？我们为全国提供了多少个劳工岗位？提供了多少小姐们就业的机会？如果都像那些SB认为的真善美去做，很多人早就喝西北风了！如果不是这样，华为中兴比亚迪这些全球知名的中国企业会在我们这里落户吗？



河南山东的政府说，是呀，我们最近不是为了稳定大局，瞒报了一些手足口病的数字，被人揪住不放，实在不明白那些人是怎么想的，少报几个数字有什么了不起呢？不是为了我们国家的形象好一些吗？那些西方人把人命看得太重，哪知道我们中国的国情，就是人太多，死几个有什么关系呢？小孩就很重要了吗？独生子女就很重要了吗？再说了，中国现在崛起了，我们根本不用理会西方人的看法！



山西政府说，太对了。我们煤矿死一些人，全国都看着我们，挖煤哪有不死人的？我们为了全国经济，拼命挖煤，不惜死几个矿工，全国人民应该感谢我们才对，凭什么对我们指手画脚，还把刚刚做了两年省长的孟学农同志给免了，实在太不公平了！我们为了不让全国人民有内疚感，所以尽量瞒报死亡人数，不是为了大家开开心心吗？现在偏有人要我们及时上报，搞得我们一些地方官员都不想干了，这样下去，挖煤的越来越少，电费越来越贵，你觉得好吗？



地震局的人说，是呀，这才说到点子上了，四川地震，我们也不是不知道，但为了国家的面子，就是不能预报！死一些人有什么关系呢？（真预报了，那些山民往哪里躲呀，到你家里，你愿意吗？反正我们是不愿意的！）我们不理解温总理的做法，急什么呢？我们的局长就在国外慢吞吞地不回来，回来不是找麻烦吗？（你看四川省的领导，也是这个时候都在外国，大家都心知肚明嘛。）到灾区去干嘛呢？多死一些人，不是还可以多搞一些募捐活动？大家不还可以趁机多捞一些钱？不破不立嘛！（四川的领导说，嘿，天机不可泄，别乱说！）



田文华说，对对对！各位领导说的太对了，我们三鹿集团，为了中国的计划生育事业，做出了自己应有的贡献，让那些宝宝从小结石，不是省的将来做绝育手术了吗？卫生部应该发一个计划生育奖给我们才对，现在倒好，把我们三鹿给破产了，还把我判了无期，真是岂有此理，冤枉啊！我要找胡主席，温总理喊冤，要立刻给我平反！立刻还我们三鹿的名誉！



黄友松说，你TMD的冤，我才冤呢！我可是全国最大的法官了，现在居然也被关了，我到现在也不知道我犯了哪条罪。捞点钱不是很正常嘛，上面教育部的同志不是说了吗，人不为己天诛地灭。现在有哪个做官的不捞钱？来人呐，开门，让我出去，我要找我的相好去，好久没看她了，憋得慌！你们要是跟我讲法律，你们不也要统统完蛋吗？你们哪个是好人呢？你TMD的是好人，还在街上卖鸡蛋呢，哪里轮得上来和我说话！TMD



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利用勾股定理推导一个直角三角形里的常用公式

以前遇到一个直角三角形的常用公式，就是斜边上的高的平方是其垂足将斜边分成两段后的两线段之积。用几何意义的图形来表示，就是把一个直角三角形用斜边上的高一分为二，把其中一个绕垂足转90°，然后按其边分别组成一个正方形和长方形，那么，这两个图形的面积一定相等。

记得小时候老师都是用相似形的方法来证，但是没有学过相似形的话，也可以用勾股定理来证明，而且相当直观和简洁，可以让小孩子比较容易理解。见右图。根据序号一步步推理下去，就很容易获得最后的答案。

其实，这个证法还可以用来做移形换位，即把一个正方形变成一个长方形。当然反过来也是可以的，但构建这个直角三角形时还要用到圆规，即把长宽放在一条直线上成一线段，然后以这个线段为直径做半圆，在长宽接点上作垂线交于半圆，得到的半圆上的交点就是直角三角形的直角顶点。

非常简单吧！

山寨奥数题（六）偶然性角度问题的研究

曾经在网上看到一道所谓的经典几何题，见右图的
第一个问题。网上的讨论非常热闹，但答案当然只有一个。其中有网友讲这是一道经典题，所谓偶然性角度问题。也就是说，这种三角形很少，没有几个。渔夫花了一些时间研究，发现实际上还有一些角度可以出同样的题，但40度是一个比较容易求证的题，但如果不是用三角的方法，恐怕可以搞死人了。其实，只要满足后面的三角公式的所有角度都是可以的，但这里面的确很少有整数角度可以拿来用。要是花些时间凑几个数字然后让学生们当奥数题做，真是可以累死人了。

所以奥数题实际没什么太大意思，所谓思维训练，是一个自欺欺人的招牌，纯粹一帮业余数学爱好者搞不出名堂，弄些题目难难学生而已，顺便替自己搞些钱，当然，现在已经有人将其作为职业，串通学校的老师一起干（很多人其实也是老师）。但家长们真的很无奈，不过这也是恶性循环的一个部分，否则老师们靠什么买房子买车子呢？他们也要过日子啊。